Elk getal kan je beschrijven in hooguit 13 woorden

Sommige natuurlijke getallen kan je beschrijven met een Nederlandse zin. Zo is bijvoorbeeld "Het kleinste natuurlijke getal" een beschrijving van het getal 1 in vier woorden, en  "Het even priemgetal" een beschrijving van het getal 2. Op deze manier kunnen we nog wel een tijdje doorgaan, maar kunnen we nu alle getallen beschrijven in een bepaald aantal woorden?

Met beschrijvingingen zoals "Tweemiljoenvijfhonderdtweeëntachtigduizendvierhonderdelf" gaat dit voor alle getallen lukken, het wordt interessanter als we afspreken dat we alleen woorden met maximaal 50 letters bekijken. Het volgende bewijs laat zien dat het dan nog steeds kan.

Stel er zijn natuurlijke getallen die niet beschreven kunnen worden in dertien woorden of minder woorden. Laat n het kleinste van die getallen zijn. We kunnen n beschrijven als  "Het kleinste natuurlijke getal dat niet in hooguit dertien woorden kan worden beschreven".

Maar dit is een beschrijving van n van dertien woorden, wat in tegenspraak is met het feit dat n niet zulke beschrijvingen heeft. We concluderen dat onze aanname onwaar is, en dus dat elk natuurlijk getal beschreven kan worden in hooguit dertien woorden.

Dit is een opmerkelijk resultaat. Er zijn namelijk maar eindig veel Nederlandse woorden met maximaal 50 letters, en dus ook maar eindig veel beschrijvingen van dertien woorden of minder. Omdat elke beschrijving maar één getal kan beschrijven zien we dat er maar eindig veel getallen zijn!

Waar gaat het mis...